Συζητήστε στο Γρεβενά

Ο μετασχηματισμός Fourier αποσυνθέτει μια συνάρτηση του χρόνου στις συχνότητες που το κατατάσσουν, κατά τρόπο παρόμοιο με τον τρόπο με τον οποίο μια μουσική χορδή μπορεί να εκφραστεί ως η συχνότητα των συστατικών της σημειώσεων. Ο μετασχηματισμός Fourier μιας συνάρτησης του χρόνου είναι ο ίδιος μια πολύπλοκη συνάρτηση της συχνότητας, της οποίας η απόλυτη τιμή αντιπροσωπεύει το ποσό της συχνότητας που υπάρχει στην αρχική συνάρτηση και του οποίου το πολύπλοκο επιχείρημα είναι η μετατόπιση φάσης του βασικού ημιτονοειδούς σε αυτή τη συχνότητα. Ο μετασχηματισμός Fourier ονομάζεται αναπαράσταση περιοχών συχνοτήτων του αρχικού σήματος. Ο όρος μετασχηματισμός Fourier αναφέρεται τόσο στην αναπαράσταση περιοχών συχνοτήτων όσο και στη μαθηματική λειτουργία που συνδυάζει την αναπαράσταση περιοχών συχνοτήτων με μια συνάρτηση του χρόνου.

Ο μετασχηματισμός Fourier δεν περιορίζεται στις λειτουργίες του χρόνου, αλλά για να έχει μια ενοποιημένη γλώσσα, ο τομέας της αρχικής λειτουργίας αναφέρεται συνήθως ως πεδίο χρόνου. Για πολλές λειτουργίες πρακτικού ενδιαφέροντος, μπορεί κανείς να ορίσει μια λειτουργία που αντιστρέφει αυτό: ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier, επίσης αποκαλούμενος Σύνθεση Fourier, μιας αναπαράστασης περιοχών συχνοτήτων συνδυάζει τη συμβολή όλων των διαφορετικών συχνοτήτων για την ανάκτηση της αρχικής συνάρτησης του χρόνου. Στην επεξεργασία εικόνας, η έννοια ενός τομέα χρόνου αντικαθίσταται από εκείνη ενός χωροταξικού τομέα όπου η ένταση ενός σήματος αναγνωρίζεται από τη χωρική του θέση και όχι σε οποιοδήποτε χρονικό σημείο. Οι γραμμικές λειτουργίες που εκτελούνται σε ένα τομέα έχουν αντίστοιχες λειτουργίες στην άλλου τομέα, οι οποίοι μερικές φορές είναι πιο εύκολο να εκτελεστούν. Η λειτουργία της διαφοροποίησης στο πεδίο χρόνου αντιστοιχεί σε πολλαπλασιασμό με τη συχνότητα, έτσι μερικές διαφορικές εξισώσεις είναι ευκολότερο να αναλυθούν στον τομέα συχνοτήτων.

Επίσης, η συνέλιξη στο πεδίο χρόνου αντιστοιχεί σε κανονικό πολλαπλασιασμό στον τομέα συχνοτήτων. Συγκεκριμένα, αυτό σημαίνει ότι οποιοδήποτε γραμμικό σύστημα αμετάβλητου χρόνου, όπως ένα φίλτρο που εφαρμόζεται σε ένα σήμα, μπορεί να εκφραστεί σχετικά απλά σαν μια λειτουργία σε συχνότητες. Αφού εκτελέσετε τις επιθυμητές λειτουργίες, ο μετασχηματισμός του αποτελέσματος μπορεί να γίνει πίσω στο πεδίο χρόνου. Η αρμονική ανάλυση είναι η συστηματική μελέτη της σχέσης μεταξύ των περιοχών συχνότητας και χρόνου, συμπεριλαμβανομένων των λειτουργιών ή των λειτουργιών που είναι "απλούστερες" σε μία ή την άλλη και έχει βαθιές συνδέσεις με πολλούς τομείς των σύγχρονων μαθηματικών. Λειτουργίες που εντοπίζονται στον τομέα του χρόνου έχουν μετασχηματισμούς Fourier που απλώνονται σε όλο το πεδίο συχνοτήτων και αντίστροφα, ένα φαινόμενο που είναι γνωστό ως αρχή αβεβαιότητας.

Η κρίσιμη περίπτωση για αυτή την αρχή είναι η Gaussian λειτουργία, η οποία έχει μεγάλη σημασία στην θεωρία των πιθανοτήτων και στις στατιστικές, καθώς και στη μελέτη των φυσικών φαινομένων που εμφανίζουν φυσιολογική κατανομή. Ο μετασχηματισμός Fourier μιας Gaussian συνάρτησης είναι μια άλλη Gaussian λειτουργία. Ο Joseph Fourier εισήγαγε το μετασχηματισμό στη μελέτη του για μεταφορά θερμότητας, όπου οι λειτουργίες Gauss εμφανίζονται ως λύσεις της εξίσωσης θερμότητας. Ο μετασχηματισμός Fourier μπορεί τυπικά να οριστεί ως ένα ακατάλληλο ολοκλήρωμα Riemann, καθιστώντας το ολοκληρωμένο μετασχηματισμό, αν και αυτός ο ορισμός δεν είναι κατάλληλος για πολλές εφαρμογές που απαιτούν μια πιο εξελιγμένη θεωρία ολοκλήρωσης. Για παράδειγμα, πολλές σχετικά απλές εφαρμογές χρησιμοποιούν τη λειτουργία Delta delta, η οποία μπορεί να αντιμετωπιστεί τυπικά σαν να ήταν μια συνάρτηση, αλλά η αιτιολόγηση απαιτεί μαθηματικά πιο εξελιγμένη άποψη. Ο μετασχηματισμός Fourier μπορεί επίσης να γενικευθεί στις λειτουργίες πολλών μεταβλητών στον ευκλείδειο χώρο, στέλνοντας μια συνάρτηση του τρισδιάστατου χώρου σε μια λειτουργία τρισδιάστατης ορμής.

Αυτή η ιδέα καθιστά τον χωρικό μετασχηματισμό Fourier πολύ φυσικό στη μελέτη των κυμάτων, καθώς και στην κβαντική μηχανική, όπου είναι σημαντικό να μπορούμε να αντιπροσωπεύουμε τις λύσεις κυμάτων ως λειτουργίες χώρου ή ορμής και μερικές φορές και των δύο. Σε γενικές γραμμές, οι λειτουργίες στις οποίες εφαρμόζονται οι μέθοδοι Fourier είναι πολύπλοκες και πιθανώς διανυσματικές. Ακόμη περαιτέρω γενίκευση είναι δυνατή στις ομάδες, οι οποίες εκτός από τον αρχικό μετασχηματισμό Fourier στο ℝ ή ℝn περιλαμβάνουν κυρίως το μετασχηματισμό Fourier διακριτού χρόνου, τον διακριτό μετασχηματισμό Fourier και τη σειρά Fourier ή τον κυκλικό μετασχηματισμό Fourier. Το τελευταίο χρησιμοποιείται συνήθως για να χειρίζεται περιοδικές λειτουργίες. Ο γρήγορος μετασχηματισμός Fourier είναι ένας αλγόριθμος για τον υπολογισμό του DFT.

https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform